Đạo Hàm

[Timberlake]

I Định nghĩa đạo hàm
1) Đạo hàm tại 1 điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0 khi x0 nhận một số gia Δx thì y0 = f(x0) nhận một số gia tương ứng là Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)
Nếu lim (Δy/Δx) tồn tại thì ta gọi đó là đạo hàm của hàm số f tại x0. Ký hiệu f'(x0) :
Δx→0

f'(x0) = lim (Δy/Δx) = lim [f(x0 + Δx) - f(x0)]/Δx
Δx→0 Δx→0
Nếu đặt x = x0 + Δx thì Δx → 0 tức x → x0 và ta có:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f%27%28xo%29=%5Clim_%7Bx%5Cto%20xo%7D% 20%5Cfrac%7Bf%28x%29-f%28xo%29%7D%7Bx-xo%7D

Đạo hàm 1 phía
a) Bên phải
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f%27%28xo+%29=%5Clim_%7Bx%5Cto%20xo+%7 D%20%5Cfrac%7Bf%28x%29-f%28xo%29%7D%7Bx-xo%7D
b) Bên trái
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f%27%28xo-%29=%5Clim_%7Bx%5Cto%20xo-%7D%20%5Cfrac%7Bf%28x%29-f%28xo%29%7D%7Bx-xo%7D

2- Đạo hàm trên một khoảng, một đoạn
f(x) có đạo hàm trên (a;b) ↔ f(x) có đạo hàm tại mọi x thuộc (a;b)
f(x) có đạo hàm trên [a;b] ↔ f(x) có đạo hàm trên (a;b), f'(a+) và f'(b-) tồn tại

3-Quan hệ giữa đạo hàm và liên tục của hàm số
Cho hàm số có đạo hàm tại xo =>hàm liên tục tại đó
không có dấu chỉ chiều ngược lại

4-Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Cho hàm số f(x) có đạo hàm tại xo thì tại điểm đó đồ thị của nó có tiếp tuyến dạng :
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y-yo=f%27%28xo%29.%28x-xo%29

5/ Các công thức đạo hàm cơ bản
Cho hàm u ,v ta có các công thức sau :
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?%28u+v%29%27=u%27+v%27%5C%5C%3Cbr%20/%3E%28u-v%29%27=u%27-v%27%5C%5C%3Cbr%20/%3E%28uv%29%27=u%27v+uv%27%5C%5C%3Cbr%20/%3E%28uvw%29%27=u%27vw+uv%27w+uvw%27%5C%5C%3Cbr%20/%3E%5Cfrac%7Bu%7D%7Bv%7D%27=%5Cfrac%7Bu%27v-vu%27%7D%7Bv%5E2%7D%5C%5C%3Cbr%20/%3Ef%27%28u%28x%290=f%27%28u%28x%29%29.u%27%28x%29 %5C%5C%3Cbr%20/%3E

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?%28x%5Ea%29%27=a.x%5E%7Ba-1%7D%5C%5C%20%3Cbr%20/%3E%28sinx%29%27=cosx%5C%5C%3Cbr%20/%3Esin%28u%29=u%27.cos%28u%29%5C%5C%3Cbr%20/%3Ecos%28u%29%27=-u%27sin%28u%29%5C%5C%3Cbr%20/%3E%3Cbr%20/%3Etg%28u%29%27=%5Cfrac%7Bu%27%7D%7Bcos%5E2%28u%29 %7D%5C%5C%3Cbr%20/%3E%3Cbr%20/%3Ecotg%28u%29%27=%5Cfrac%7B-u%27%7D%7Bsin%5E2%28u%29%7D%5C%5C%3Cbr%20/%3E%3Cbr%20/%3E%28a%5Eu%29%27=u%27.lna.a%5Ex%5C%5C%3Cbr%20/%3E%3Cbr%20/%3E%28e%5Eu%29%27=u%27.e%5Ex%5C%5C%3Cbr%20/%3E%3Cbr%20/%3E%28arcsinu%29%27=%5Cfrac%7Bu%27%7D%7B%5Csqrt%7B 1-x%5E2%7D%20%5C%5C%3Cbr%20/%3E%28arccosu%29%27=%5Cfrac%7B-u%27%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%20%5C%5C%3Cbr%20/%3E%28arctan%29%27=%5Cfrac%7Bu%27%7D%7Bcos%5E2u%7D %20%5C%5C%3Cbr%20/%3E%28arcotg%29%27=%5Cfrac%7B-u%27%7D%7Bsin%5E2u%7D%20%5C%5C%3Cbr%20/%3E%3Cbr%20/%3E

[Timberlake]

II. ĐẠO HÀM CẤP CAO - VI PHÂN

1/ Đạo hàm cấp cao
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm y' = f'(x). Đạo hàm cấp n (nếu có) của f(x) được xác định một cách quy nạp như sau :
[f'(x)]' = f''(x) = f(x)(2) : đạo hàm cấp 2 của f(x)
[f''(x)]' = f'''(x) = f(x)(3) : đạo hàm cấp 3 của f(x)
[f'''(x)]' = f''''(x) = f(x)(4) : đạo hàm cấp 4 của f(x)
...........
[f(x)(n-1)]' = f(x)(n) : đạo hàm cấp n của f(x)

2/ Vi phân
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0. Gọi Δx là số gia của biến số tại x0. Tích f'(x0).Δx được gọi là vi phân của hàm số f tại x0 ứng với số gia Δx (vi phân của f tại x0). Ký hiệu : df(x0) = f'(x0).Δx
Nếu lấy f(x) = x thì df = dx = (x)'.Δx = Δx. Do đó ta thay Δx = dx và có : df(x0) = f(x0)dx
Tổng quát : df(x) = f'(x)dx

[Timberlake]

III- Một số bài toán về tính đạo hàm
Ví dụ 1:
Tính đạo hàm cấp 1 của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f%28x%29=sinx%5E%7Bcosx%7D
Riêng về những dạng đạo hàm http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f%28x%29=u%28x%29%5E%7Bv%28x%29%7D
thì không thể dùng những phương pháp thông thường được ,Ta cần ln hai vế
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?lny=v%28x%29lnu%28x%29
Sau đó đạo hàm hai vế lúc đó ta có :
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cfrac%7By%27%7D%7By%7D=%28u%28x%29ln v%28x%29%29%27
Từ đó ==> đạo hàm cần tìm

[Timberlake]

IV. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

1/ Tính đơn điệu của hàm số
a/ Điều kiện cần của tính đơn điệu
Cho y = f(x) là hàm số có đạo hàm trên (a;b)
f(x) tăng trên (a;b) → f'(x) ≥ 0, với mọi x thuộc (a;b)
f(x) giảm trên (a;b) → f'(x) ≤ 0, với mọi x thuộc (a;b)
b/ Điều kiện đủ của tính đơn điệu
Cho y = f(x) là hàm số có đạo hàm trên (a;b)
f'(x) > 0, với mọi x thuộc (a;b) → f(x) tăng trên (a;b)
f'(x) < 0, với mọi x thuộc (a;b) → f(x) giảm trên (a;b)
c/ Hàm hằng
f là hàm hằng trên (a;b) ↔ f'(x) = 0, với mọi x thuộc (a;b)

2/ Chứng minh bất đẳng thức
a/ Định lý Lagrange: Nếu f là hàm liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên (a;b) thì tồn tại ít nhất một số c thuộc (a;b) sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cfrac%7Bf%28b%29%20-%20f%28a%29%7D%7Bb%20-%20a%7D%20=%20f%27%28c%29
* Ý nghĩa hình học : Trên cung AB của đồ thị hàm f, tồn tại ít nhất một điểm mà tại đó tiếp tuyến song song với đường thẳng AB
* Áp dụng : Nếu f'(x) bị chặn trong khoảng (a;b), tức tồn tại 2 số m, M sao cho :
m < f'(x) < M, với mọi x thuộc (a;b) → tồn tại c : m < f'(c) < M
Suy ra : http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?m%20%3C%20%5Cfrac%7Bf%28b%29%20-%20f%28a%29%7D%7Bb%20-%20a%7D%20%3C%20M
b/ Tính đơn điệu hoặc bảng biên thiên
- Khảo sát sự biến thiên của hàm f
- Dựa vào bảng biến thiên, rút ra đpcm (có thể dùng f'' để xét dấu f')

3/ Biện luận phương trình và bất phương trình
a/ Phương trình f(x) = m
- Phương trình f(x) = m là phương trình hoàng độ điểm chung của đường thẳng (d): y = m và đồ thị hàm số (C): y = f(x)
- Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của (d) và (C)
- Dựa vào bảng biến thiên của hàm f và giá trị của m, kết luận số điểm chung, tức số nghiệm của phương trình
- Một cách tổng quát: phương trình f(x) = m có nghiệm ↔ m thuộc MGT của f
b/ Bất phương trình f(x) < m
Gọi D là MXĐ của f(x)
- Nghiệm của bất phương trình f(x) < m là hoành độ các điểm thuộc đồ thị (C): y = f(x) nằm dưới đường thẳng (d): y = m
- Bất phương trình f(x) < m có nghiệm ↔ có một phần của đồ thị (C) nằm dưới đường thẳng (d)
- Bất phương trình f(x) < m thỏa với mọi x thuộc D ↔ toàn bộ đồ thị (C) nằm dưới đường thẳng (d)
** Tương tự với các bất phương trình : f(x) > m , f(x) ≤ m, f(x) ≥ m