maidanhansi
28-10-2009, 04:43 AM
Sự biến thiên của hàm số
Xét sự biến thiên của hàm số
Phương pháp giải:
* Tìm miền xác định của hàm số .
* Tìm đạo hàm và xét dấu đạo hàm.
* Nếu y'(x) \ge 0 với mọi x thuộc (a;b) (y'=0 tại hữu hạn điểm )thì hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng (a;b).
* Nếu y'(x) \le 0 với mọi x thuộc (a;b) (y'=0 tại hữu hạn điểm) thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b).
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y=\frac{1}{3}x^3+mx^2+(m+6)x-(2m+1) đồng biến trên R
Hướng dẫn giải:
* Tập xác định D=R
* Đạo hàm y'=x^2+3mx+m+6
* Hàm số đồng biến trên R \Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x \in R
\Leftrightarrow x^2+3mx+m+6\ge 0
\Leftrightarrow \Delta\le 0 \Leftrightarrow m^2-m-6\le 0\Leftrightarrow -2\le m\le 3
Vậy với x \in [-2;3] thì hàm số đã cho đồng biến trên R.
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y=(m-2)x^3-3x^2-3x+2 luôn nghịch biến trên tập xác định.
Hướng dẫn giải:
* Tập xác định D=R
* Đạo hàm y'=3(m-2)x^2-6x-3=3\left[{(m-2)x^2-2x-1}\right]
Hàm số luôn nghịch biến khi và chỉ khi y'\le 0, \forall x\in R
\Leftrightarrow {(m-2)x^{2}-2x-1}\le 0,\forall x \in R
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m-2<0 \\ \Delta'=3+m\le 0 \end{array} \right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} m<2 \\ m \le -3 \end{array} \right.
\Leftrightarrow m\le -3.
Kết luận: Giá trị của m phải thỏa mãn yêu cầu bài toán là : m\le -3.
Bài tập rèn luyện:
1. Tìm m để hàm số y=x^3-3x^2+(1+3m)x+3m+4 luôn đồng bến trên tập xác định của hàm số .
2. Tìm m để hàm số y=\frac{x-4+m}{1-x} đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
3. Tìm m để hàm số y=\frac{mx+1}{x+m} nghịch biến trên tập xác định.
Dạng toán 2: Hàm số đồng biến , nghịch biến trên một khoảng
Phương pháp giải:
* Vẫn dùng các định lí nhận biết tính tăng giảm của hàm số trên một khoảng
* Bài toán thưeờng dẫn đến một bài toán về tam thức bậc hai
* Học sinhn cần lưư ý việc so sánh 1 số \alphavới hai nghiệm của f(x)=ax^2+bx+c a\ne 0
+ af(\alpha)<0\Leftrightarrow x_{1}<\alpha<x_2
+ \alpha <x_1<x_2 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} af(\alpha)>0 \\ \Delta>0 \\ \frac{S}{2}>\alpha \end{array} \right.
+ x_1<x_2<\alpha\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} af(\alpha)>0 \\ \Delta>0 \\ \frac{S}{2}<\alpha \end{array} \right.
Ví dụ: Cho hàm số y=x^3+(m+1)x^2-(2m^2-3m+2)x+2m(2m-1)
a) Chứng minh rằng hàm số không thể luôn đồng biến .
b) Định m để hàm số đồng biến với x\ge 2
Hướng dẫn giải:
a) Tập xác định D=R
Đạo hàm: y'=3x^2-2(m+1)x-2m^2+3m-2
\Delta'=(m+1)^2+6m^2-9m+6=7(m^2-m+1)>0,\forall m
Điều này cho thấy phương trình y'=0 có hai nghiệm phân biệt , suy ra đạo hàm đổi dấu 2 lần . Vậy hàm số không thể luôn luôn đồng biến được.
b) Định m để hàm số đồng biến với x\ge 2
Hàm số đồng biến với x\ge 2 \Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x\ge 2
Nhưng nếu x_1;x_2 (x_1<x_2) là 2 nghiệm của y'=0 thì bảng xét dấu của y' là ( Học sinh tự lập)
Từ bảng xét dấu: y'\ge 0,\forall x\ge 2 \Leftrightarrow x_1<x_2\le 2
\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} y'(2)\ge 0 \\ \frac{S}{2}<2 \end{array} \right.
…. \Leftrightarrow -2 \le m \le \frac{3}{2}
Vậy hàm số đồng biến với x\ge 2 nếu và chỉ nếu -2 \le m \le \frac{3}{2}
Bài tập rèn luyện:
1. Cho hàm số y=x^3-3(2m+1)x^2+(12m+5)+2
a) Định m để hàm số đồng biến trong khoảng \left({2;+\infty} \right)
b) Định m để hàm số đồng biến trong các khoảng \left({-\infty;-1}\right),\left({2;+\infty}\right).
2. Tìm m để hàm số y=x^2(m-x)-m đồng biến trong khoảng (1;2).
Xét sự biến thiên của hàm số
Phương pháp giải:
* Tìm miền xác định của hàm số .
* Tìm đạo hàm và xét dấu đạo hàm.
* Nếu y'(x) \ge 0 với mọi x thuộc (a;b) (y'=0 tại hữu hạn điểm )thì hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng (a;b).
* Nếu y'(x) \le 0 với mọi x thuộc (a;b) (y'=0 tại hữu hạn điểm) thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b).
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y=\frac{1}{3}x^3+mx^2+(m+6)x-(2m+1) đồng biến trên R
Hướng dẫn giải:
* Tập xác định D=R
* Đạo hàm y'=x^2+3mx+m+6
* Hàm số đồng biến trên R \Leftrightarrow y'\ge 0,\forall x \in R
\Leftrightarrow x^2+3mx+m+6\ge 0
\Leftrightarrow \Delta\le 0 \Leftrightarrow m^2-m-6\le 0\Leftrightarrow -2\le m\le 3
Vậy với x \in [-2;3] thì hàm số đã cho đồng biến trên R.
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y=(m-2)x^3-3x^2-3x+2 luôn nghịch biến trên tập xác định.
Hướng dẫn giải:
* Tập xác định D=R
* Đạo hàm y'=3(m-2)x^2-6x-3=3\left[{(m-2)x^2-2x-1}\right]
Hàm số luôn nghịch biến khi và chỉ khi y'\le 0, \forall x\in R
\Leftrightarrow {(m-2)x^{2}-2x-1}\le 0,\forall x \in R
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m-2<0 \\ \Delta'=3+m\le 0 \end{array} \right.
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} m<2 \\ m \le -3 \end{array} \right.
\Leftrightarrow m\le -3.
Kết luận: Giá trị của m phải thỏa mãn yêu cầu bài toán là : m\le -3.
Bài tập rèn luyện:
1. Tìm m để hàm số y=x^3-3x^2+(1+3m)x+3m+4 luôn đồng bến trên tập xác định của hàm số .
2. Tìm m để hàm số y=\frac{x-4+m}{1-x} đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
3. Tìm m để hàm số y=\frac{mx+1}{x+m} nghịch biến trên tập xác định.
Dạng toán 2: Hàm số đồng biến , nghịch biến trên một khoảng
Phương pháp giải:
* Vẫn dùng các định lí nhận biết tính tăng giảm của hàm số trên một khoảng
* Bài toán thưeờng dẫn đến một bài toán về tam thức bậc hai
* Học sinhn cần lưư ý việc so sánh 1 số \alphavới hai nghiệm của f(x)=ax^2+bx+c a\ne 0
+ af(\alpha)<0\Leftrightarrow x_{1}<\alpha<x_2
+ \alpha <x_1<x_2 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} af(\alpha)>0 \\ \Delta>0 \\ \frac{S}{2}>\alpha \end{array} \right.
+ x_1<x_2<\alpha\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} af(\alpha)>0 \\ \Delta>0 \\ \frac{S}{2}<\alpha \end{array} \right.
Ví dụ: Cho hàm số y=x^3+(m+1)x^2-(2m^2-3m+2)x+2m(2m-1)
a) Chứng minh rằng hàm số không thể luôn đồng biến .
b) Định m để hàm số đồng biến với x\ge 2
Hướng dẫn giải:
a) Tập xác định D=R
Đạo hàm: y'=3x^2-2(m+1)x-2m^2+3m-2
\Delta'=(m+1)^2+6m^2-9m+6=7(m^2-m+1)>0,\forall m
Điều này cho thấy phương trình y'=0 có hai nghiệm phân biệt , suy ra đạo hàm đổi dấu 2 lần . Vậy hàm số không thể luôn luôn đồng biến được.
b) Định m để hàm số đồng biến với x\ge 2
Hàm số đồng biến với x\ge 2 \Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x\ge 2
Nhưng nếu x_1;x_2 (x_1<x_2) là 2 nghiệm của y'=0 thì bảng xét dấu của y' là ( Học sinh tự lập)
Từ bảng xét dấu: y'\ge 0,\forall x\ge 2 \Leftrightarrow x_1<x_2\le 2
\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} y'(2)\ge 0 \\ \frac{S}{2}<2 \end{array} \right.
…. \Leftrightarrow -2 \le m \le \frac{3}{2}
Vậy hàm số đồng biến với x\ge 2 nếu và chỉ nếu -2 \le m \le \frac{3}{2}
Bài tập rèn luyện:
1. Cho hàm số y=x^3-3(2m+1)x^2+(12m+5)+2
a) Định m để hàm số đồng biến trong khoảng \left({2;+\infty} \right)
b) Định m để hàm số đồng biến trong các khoảng \left({-\infty;-1}\right),\left({2;+\infty}\right).
2. Tìm m để hàm số y=x^2(m-x)-m đồng biến trong khoảng (1;2).